Lineare Algebra Beispiele

$4 x - 10 y = 6$ , $4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1

Löse in $4 x - 10 y = 6$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.1

Addiere $10 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x = 6 + 10 y$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 6 + 10 y$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x = 6 + 10 y$ durch $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{6}{4} + \frac{10 y}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x}{4} = \frac{6}{4} + \frac{10 y}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{4} + \frac{10 y}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

$x = \frac{6}{4} + \frac{10 y}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

$x = \frac{6}{4} + \frac{10 y}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = \frac{2 (3)}{4} + \frac{10 y}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{10 y}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2} + \frac{10 y}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2} + \frac{10 y}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{10 y}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{10 y}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

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Schritt 1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10 y$ heraus.

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (5 y)}{4}$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (5 y)}{2 (2)}$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{3}{2} + \frac{2 (5 y)}{2 \cdot 2}$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$4 x - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$4 x - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$4 x - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$4 x - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$4 x - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$4 x - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$4 x - 3 y = - 5$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $\frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $4 x - 3 y = - 5$ durch $\frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$ .

$4 (\frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}) - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $4 (\frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}) - 3 y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 (\frac{3}{2}) + 4 (\frac{5 y}{2}) - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$2 (2) (\frac{3}{2}) + 4 (\frac{5 y}{2}) - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot (2 (\frac{3}{2})) + 4 (\frac{5 y}{2}) - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \cdot 3 + 4 (\frac{5 y}{2}) - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$2 \cdot 3 + 4 (\frac{5 y}{2}) - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 + 4 (\frac{5 y}{2}) - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$6 + 2 (2) (\frac{5 y}{2}) - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 + 2 \cdot (2 (\frac{5 y}{2})) - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$6 + 2 (5 y) - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$6 + 2 (5 y) - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 2.2.1.1.5

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$6 + 10 y - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$6 + 10 y - 3 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 2.2.1.2

Subtrahiere $3 y$ von $10 y$ .

$6 + 7 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$6 + 7 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$6 + 7 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$6 + 7 y = - 5$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 3

Löse in $6 + 7 y = - 5$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y = - 5 - 6$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 3.1.2

Subtrahiere $6$ von $- 5$ .

$7 y = - 11$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$7 y = - 11$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $7 y = - 11$ durch $7$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $7 y = - 11$ durch $7$ .

$\frac{7 y}{7} = \frac{- 11}{7}$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7 y}{7} = \frac{- 11}{7}$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 11}{7}$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$y = \frac{- 11}{7}$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$y = \frac{- 11}{7}$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{11}{7}$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $- \frac{11}{7}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = \frac{3}{2} + \frac{5 y}{2}$ durch $- \frac{11}{7}$ .

$x = \frac{3}{2} + \frac{5 (- \frac{11}{7})}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2} + \frac{5 (- \frac{11}{7})}{2}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{3 + 5 (- \frac{11}{7})}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.2.1

Multipliziere $5 (- \frac{11}{7})$ .

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Schritt 4.2.1.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x = \frac{3 - 5 (\frac{11}{7})}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.2.1.2

Kombiniere $- 5$ und $\frac{11}{7}$ .

$x = \frac{3 + \frac{- 5 \cdot 11}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $11$ .

$x = \frac{3 + \frac{- 55}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

$x = \frac{3 + \frac{- 55}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{3 - \frac{55}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

$x = \frac{3 - \frac{55}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{3 \cdot \frac{7}{7} - \frac{55}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.4

Kombiniere $3$ und $\frac{7}{7}$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot 7}{7} - \frac{55}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{\frac{3 \cdot 7 - 55}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.6.1

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$x = \frac{\frac{21 - 55}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.6.2

Subtrahiere $55$ von $21$ .

$x = \frac{\frac{- 34}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

$x = \frac{\frac{- 34}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = \frac{- \frac{34}{7}}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = - \frac{34}{7} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.9.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{34}{7}$ in den Zähler.

$x = \frac{- 34}{7} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.9.2

Faktorisiere $2$ aus $- 34$ heraus.

$x = \frac{2 (- 17)}{7} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \cdot - 17}{7} \cdot \frac{1}{2}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{- 17}{7}$

$y = - \frac{11}{7}$

$x = \frac{- 17}{7}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 4.2.1.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{17}{7}$

$y = - \frac{11}{7}$

$x = - \frac{17}{7}$

$y = - \frac{11}{7}$

$x = - \frac{17}{7}$

$y = - \frac{11}{7}$

$x = - \frac{17}{7}$

$y = - \frac{11}{7}$

Schritt 5

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(- \frac{17}{7}, - \frac{11}{7})$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(- \frac{17}{7}, - \frac{11}{7})$

Gleichungsform:

$x = - \frac{17}{7}, y = - \frac{11}{7}$

Schritt 7